Один из великих героев анализа казино игр — Эдвард О. Торп. Он наиболее известен своей культовой работой «Побей дилера», впервые опубликованной в 1962 году. Более 50 лет спустя она все еще входит в пятерку самых продаваемых книг по блэкджеку на Amazon. Что не так известно, так это то, что Торп также опубликовал исследовательскую статью совместно с Уильямом Е. Уолденом о выигрыше двух сторонних ставок в баккара. Их статья называется «Выгодная ставка в баккара Невады» (Journal of the American Statistical Association, Vol 61, No. 314, pp. 313-328). Ставки, которые анализируют Торп и Уолден в своей статье, это предположения о том, что рука Игрока или Банкира будет натуральным восьмеркой или девяткой. Любой внимательный читатель этого блога сразу узнает высокую степень подсчитываемости этих ставок.
Как заявили Торп и Уолден (стр. 317):
Можно сделать ставку, что у Банкира натуральная девятка. Также можно сделать ставку, что у Банкира натуральная восьмерка. Такие же ставки иногда могут быть сделаны относительно Игрока. Ставки выплачиваются 9 к 1 (или 10 к 1). Для восьми полных колод вероятность натуральной девятки составляет 0,09490, преимущество казино составляет 5,10 процента. Для восьми полных колод вероятность натуральной восьмерки составляет 0,09453, преимущество казино составляет 5,47 процента.
В следующей таблице представлены комбинаторные анализы для ставки на натуральную девятку:
В частности:
- Преимущество казино составляет 5,097%.
- Стандартное отклонение составляет 2,932.
- Частота выпадения составляет 9,490%.
В следующей таблице представлены комбинаторные анализы для ставки на натуральную восьмерку:
В частности:
- Преимущество казино составляет 5,468%.
- Стандартное отклонение составляет 2,927.
- Частота выпадения составляет 9,453%.
На странице 317 Торп и Уолден утверждают:
Пусть n — это количество карт в колоде, которые до сих пор не использовались в игре. Пусть t обозначает количество из этих n карт с номиналом девять. Предположим, что остальные n — t карт были случайно выбраны из 384 ненулевых карт, которые изначально были в восьми полных колодах.
Из этого утверждения и ранее приведенного материала мы знаем следующее о том, как Торп и Уолден подошли к подсчету этих сторонних ставок:
- Все ставки выплачивались 9 к 1 при выигрыше.
- Их анализ проводился на основе восьми колод.
- Созданная ими система основывалась на рассмотрении плотности ключевой карты для этой ставки (восьмерки или девятки) как доли от всех неиспользованных карт.
На странице 326 они утверждают:
… Наша окончательная стратегия заключается в подсчете общего количества карт n, количества t девяток и количества s восьмерок. Вычисляем отношение n/t и используем дробь … на натуральных девятках. Вычисляем отношение n/s и используем дробь … на натуральных восьмерках.
Эта методология должна быть очень знакома читателю. Используя подход, который еще не существовал на момент публикации статьи в 1966 году, Торп и Уолден рекомендовали использовать следующие системы подсчета карт, чтобы определить, когда делать ставку:
Для ставки на натуральную девятку, используйте (1,1,1,1,1,1,1,1,-12,1), то есть:
- 9 = -12
- Все остальные = +1
Для ставки на натуральную восьмерку, используйте (1,1,1,1,1,1,1,-12,1,1), то есть:
- 8 = -12
- Все остальные = + 1
Анализируя ставки на натуральные 9 от Игрока/Банкира, Торп и Уолден пришли к выводу, что (стр. 318, 319):
Пусть N’ — это общее количество карт, которые не используются во время игры, то есть N’ — это сумма числа неиспользованных сожженных карт и карт, оставшихся в колоде, когда казино решает перетасовать… Мы определяем N = N’ + 4… Оказывается, что при малом значении N, скажем, 20 или 30, выгодные сторонние ставки можно делать примерно в 20 процентах случаев. Преимущество на (математическое ожидание) этих ставок составляет до 89 процентов, когда N равно 20.
Проще говоря, они говорят, что если место разреза карты находится на 20 картах, то частота ставки составляет около 20%, а преимущество казино возрастает до 89%. Они признаются, что использовали «компьютер высокой скорости», но по сравнению с современной эпохой их окончательные значения очень приближены.
Торп и Уолден уделяют значительное внимание в статье исследованию ставок с риском. Они предположили, что играют с относительно небольшим банкроллом и определили соответствующие размеры ставок Келли. Целью этого обсуждения было показать правильные размеры ставок на основе текущего подсчета и местоположения в колоде, что обеспечивает оптимальный способ удвоения начального банкролла.
В современной эпохе серьезные профессиональные игроки не сталкиваются с проблемами банкролла при подсчете сторонних ставок. Максимальные ставки на такие ставки слишком малы по сравнению с их банкроллами, поэтому такой анализ не требуется. Если бы Торп и Уолден были членами команд профессиональных игроков современности, они, возможно, опустили бы всю эту дискуссию.
На странице 326 Торп и Уолден утверждают:
Была разработана компьютерная программа для моделирования игры в баккара Невады. Она подтвердила, что система действительна, и что казино может быть побеждено… Система успешно прошла испытания в казино. Мы изучали сторонние ставки в двух конкретных казино, которые мы называем казино A и казино B. В казино A лимиты на основную ставку составляли от $5 до $2000. Ставки на натуральные восьмерки и девятки колебались от $5 до $200. Ставка на любую из натуральных карт могла быть разделена между Игроком и Банкиром в желаемой пропорции. В казино B лимиты на основную ставку составляли от $20 до $2000, и разрешались только ставки на натуральные карты Банкира. Лимиты на ставки на натуральные карты Банкира также составляли $20 до $200 на каждую карту Банкира… Начальный капитал в казино A составлял $4000, а в казино B — $20,000.
Тот факт, что они утверждают о своем успехе, означает, что их общая прибыль была не менее $24,000 от игры против этих двух сторонних ставок, что в 1966 году было огромной суммой. В сравнении с этим, моя начальная зарплата ассистента профессора математики составляла $22,000 в 1983 году.
На момент публикации их исследовательской статьи концепция истинного подсчета и подсчетных меток еще не была разработана. Сегодня преимущество, которое выявили Торп и Уолден, тривиально достигается на практике. Я завершил исследование и опубликую его в своей следующей статье. В этой статье я предоставлю истинные подсчеты, частоту ставок, среднее преимущество и выигрыш за 100 раздач. Это метрики, о которых намекали Торп и Уолден, но которые они просто не могли вычислить из-за отсутствия вычислительной мощности.
Я не знаю ни одного человека, который последовал бы за статьей Торпа таким образом, по крайней мере, публично. Очевидно, что Торп и Уолден были на десятилетия впереди своего времени в своем систематическом подходе к изучению сторонних ставок. Они не только провели исследование, но и проверили его на практике в казино.
Из-за публикации Торпа «Побей дилера» в 1962 году казино впали в панику из-за подсчета карт в блэкджеке. Последствия оригинальной книги Торпа о подсчете карт до сих пор сильно влияют на игру уже 50 лет. Правило «нет входа в середине колоды» и местоположение неглубокой карты-разреза — это его дорогостоящее наследие. В то время Торп быстро двинулся вперед. Во время хаоса, который последовал после публикации его книги, Торп занимался исследованиями, как он может применить ту же методологию к другим играм. Тот факт, что Торп опубликовал свои исследования как по блэкджеку, так и по ставкам в баккара, свидетельствует о его преданности академическим основам. Недостаточно просто открывать истину, обязательно публиковать значительные открытия. Академический принцип заключается в том, что знания служат наилучшему общественному благу в общественной области.