Недавно мне поступил следующий вопрос от одного из читателей:
Я спросил на Wizard of Vegas (WOV) о вероятностях для опции «Бонус за плохую комбинацию» (Bad Beat Bonus — BBB) в Four Card Poker (FCP). В игре заявлена выгода казино в 20,3%, но анализ WOV показал 19,5%. Предположили, что это связано с тем, что Shuffle Master вычисляет шансы, рассматривая каждую руку так, как будто она идет из отдельной колоды. По этому предположению, если у дилера комбинация из четырех одинаковых карт, у игрока она точно быть не может. Это означает, что все игры Shuffle Master вычисляются таким образом и все их «бонусные ставки» на самом деле предлагают выгоду казино, немного ниже заявленной?
Я недавно завершил анализ возможности стратегической игры в FCP, где я отметил неточность вычислений, выполненных Shuffle Master и Elliot Frome. Моя симуляция, подтверждающая расчеты James Grosjean, показала выгоду казино в FCP примерно 2,9%. Stanley Ko дал преимущество около 3,40% с использованием простой стратегии. Моя симуляция подтвердила результаты Ko. Shuffle Master заявляет выгоду казино в 1,58%. Elliot Frome утверждает, что он нашел стратегию, обеспечивающую выгоду казино в 1,50%.
Из-за такого расхождения в вычислениях, вышеуказанный вопрос был для меня интересен. Одним из источников возможности получить преимущество в игре являются математические ошибки. Игра, которая входит в казино с неправильными расчетами, может убыть на большие суммы. В случае основной игры FCP, явная ошибка идет в пользу казино: выгода казино выше, чем заявленная.
Анализ этой игры оказался непростым. Мне пришлось выполнить несколько значительных шагов перед написанием окончательного кода.
- Мне пришлось переписать функции оценки комбинаций из четырех карт в покере.
- Я создал хэш-функцию, которая оценивает все возможные комбинации из четырех карт и присваивает каждой комбинации положительное целое число. Эти числа находятся в диапазоне от 1 до 7013 и представляют абсолютное положение комбинации среди всех возможных комбинаций из четырех карт. Я сохранил эти данные в файл.
- Для основной программы я загрузил данные из файла в массив размером allHands[52][52][52][52], что позволило мгновенно получать ранг комбинации, не пересчитывая его каждый раз в основной программе.
- И, наконец, самый важный шаг — перебор «классов эквивалентности» комбинаций из пяти карт, а не всех возможных комбинаций. Эквивалентность здесь относится к перестановкам мастей. Например, комбинации (4C, 5D, 5H, 6S, 7C) и (4D, 5H, 5S, 6C, 7D) считаются эквивалентными. Всего существует 134459 классов эквивалентности, что значительно меньше, чем общее количество комбинаций из пяти карт (2598960).
С учетом этого, вернемся к вопросам, поставленным выше. BBB — это ставка на победу в FCP, которая выигрывает, если у игрока или дилера есть комбинация из двух пар или лучше и она проигрывает другой комбинации. Вот таблица выплат для этой ставки:
Shuffle Master заявляет следующую статистику для этой ставки:
- Выгода казино = 20,3%
- Частота выпадения выигрышных комбинаций = 5,6%
Первый вопрос, который задает автор, — это правильны ли результаты Shuffle Master. Автор утверждает, что согласно данным WOV, выгода казино составляет 19,5%. В результате полного комбинаторного анализа, проведенного автором JB, выяснилось, что выгода казино равна 19,4722%.
Полный цикл состоит из 134459 x combin(47,6) = 1,443,763,328,007 комбинаций (примерно 1,4 трлн комбинаций). Запуск цикла занял 4,5 часа. В следующей таблице представлен полный комбинаторный анализ BBB:
В частности, обратите внимание, что этот комбинаторный анализ дает:
- Выгода казино = 19,47%
- Частота выпадения выигрышных комбинаций = 5,58%
- Стандартное отклонение = 21,84
Мои результаты полностью совпадают с выгодой казино, указанной в теме WOV — 19,4722%. Частота выпадения выигрышных комбинаций совпадает с тем, что заявлено Shuffle Master.
Второй вопрос, который задает автор, — это возможно ли, что Shuffle Master вычислили выгоду казино для ставки BBB, предполагая, что комбинации игрока и дилера собираются из раздельных колод. В следующей таблице представлен полный комбинаторный анализ BBB, предполагая, что у игрока и дилера карты собираются из разных колод:
Этот комбинаторный анализ дает следующие результаты:
- Выгода казино = 22,39%
- Частота выпадения выигрышных комбинаций = 5,49%
- Стандартное отклонение = 18,85
Как выяснилось, как выгода казино, так и частота выпадения выигрышных комбинаций, полученные с использованием этого метода, существенно отличаются от результатов, заявленных Shuffle Master. Я прихожу к выводу, что Shuffle Master не предполагали использовать отдельные колоды при вычислениях.
Игра Four Card Poker представляет собой значительный математический и программный проект. Очевидно, что здесь допущены ошибки, и эти ошибки, кажется, на стороне Shuffle Master. В случае BBB ошибка идет в пользу игрока. То есть выгода казино меньше, чем заявлено в документации, представленной Shuffle Master.
То, что такие ошибки существуют, должно заставить руководство казино задуматься. Что, если ошибка в пользу игрока окажется настолько значительной, что выгода казино вообще отсутствует? Что, если у игрока будет преимущество прямо изначально? Это может показаться редким случаем, но на самом деле такие ситуации происходят постоянно. Некоторые из самых больших выигрышей у профессиональных игроков были результатом ошибок в игровых математических расчетах.
Чтобы избежать потенциальной катастрофы из-за неправильных математических расчетов:
- Если ваше казино первым вводит новую настольную игру, предлагайте ее только с низким максимальным ставками до тех пор, пока не будет собрано значительное количество данных из живой игры.
- Если ваше казино предлагает уже установленную игру, независимо проверьте ее результаты. Для этого можно связаться с другим казино, предлагающим эту игру, или провести независимый анализ.
- Независимо от того, кто вы, каждый может допустить ошибку.